ประวัติปีทาโกรัส ( Pythagoras )

ปีทาโกรัส  ( Pythagoras )

                 ปีทาโกรัส เป็นที่รู้จักกันดีในฐานะของนักคณิตศาสตร์ผู้คิดค้นสูตรคูณหรือตารางปีทาโกเรียน (Pythagorean Table)และทฤษฎีบทในเรขาคณิตที่ว่า "ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ กำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลบวกของกำลังสองของความยาวของด้านประกอบมุมฉาก"และนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกได้ประยุกต์เอาทฤษฎีของปีทาโกรัสมาประยุกต์ใช้ทางด้านสถาปัตยกรรมและทางด้านศิลปะเป็นสูตรสำเร็จแห่งความสวยงามและลงตัวในทฤษฎีที่เรียกว่า Golden mean ซึ่งทฤษฎีเหล่านี้เป็นที่ยอมรับและใช้กันมาจนปัจจุบันนี้

เกิด 582 ก่อนคริสต์ศักราช ที่เมืองซามอส (Samos) ประเทศกรีซ(Greece)

เสียชีวิต 507 ก่อนคริสต์ศักราช ที่เมืองเมตาปอนตัม (Metapontum)

ผลงาน
-สร้างสูตรคูณหรือตารางปีทาโกเรียน (Pythagorean Table)
-ทฤษฎีบทเรขาคณิตที่ว่า "ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆกำลังสอง
ของความยาว ของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลบวกของกำลัง
สองของความยาวของด้าน ประกอบ มุมฉาก"
-สมบัติของแสงและการมองวัตถุ
-สมบัติของเสียง



             ปีทาโกรัสเป็นที่รู้จักกันดีในฐานะของนักคณิตศาสตร์ผู้คิดค้นสูตรคูณ หรือตารางปีทาโกเรียน (Pythagorean Table)และทฤษฎีบทในเรขาคณิตที่ว่า "ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆกำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลบวกของกำลังสองของความยาวของด้านประกอบมุมฉาก"ซึ่งทฤษฎีทั้งสองนี้เป็นที่ยอมรับและใช้กันมาจนปัจจุบันนี้
            ปีทาโกรัสเป็นนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงมากจากหลักฐานทางประวัติศาสตร์เชื่อว่า ปีทาโกรัสมีอายุอยู่ในราว 582 - 500 ก่อนคริสตกาล ปีทาโกรัสเป็นชาวกรีก เป็นนักปรัชญา และผู้นำศาสนาปีทาโกรัสมีผลงานที่สำคัญคือ เป็นนักคิด เป็นนักดาราศาสตร์ นักดนตรีและนักคณิตศาสตร์ แรกเริ่มในชีวิตเยาว์วัยอยู่ในประเทศกรีกต่อมาได้ย้ายถิ่นพำนักไปตอนใต้ของอิตาลี ที่เมืองโครตัน (Croton) ศึกษาเล่าเรียนทางปรัชญาและศาสนาที่นั่น ปีทาโกรัสมีผู้ติดตามและสาวกเป็นจำนวนมากซึ่งเรียกว่า Pythagorean การทำงานของปีทาโกรัสและสาวกจึงทำงานร่วมกัน
           แนวคิดที่สำคัญของปีทาโกรัสและสาวกคือหลายสิ่งหลายอย่างสามารถอธิบายให้เข้าใจได้ด้วยคณิตศาสตร์ทำให้การพัฒนาทางวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์เป็นเรื่องที่มีความสำคัญยิ่งปีทาโกรัสและสาวกได้ทำการพิสูจน์ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์หลายเรื่องและต่อมาทฤษฎีเหล่านี้เป็นรากฐานของวิทยาการในยุคอียิปต์
          สิ่งที่สำคัญและถือได้ว่าเป็นทฤษฎีของปีทาโกรัสที่มีชื่อเสียง คือความสัมพันธ์ของด้าน 3 ด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งความรู้นี้มีมาก่อนแล้วกว่า 700 BC แต่การนำมาพิสูจน์อ้างอิงและรวบรวมได้กระทำในยุคของปีทาโกรัสนี้
ปีทาโกรัสได้กล่าวว่า ด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส มีขนาดสั้นกว่าเส้นทแยงมุมและจุดนี้เป็นข้อพิสูจน์ให้เห็นว่าตัวเลขมีลักษณะเป็นตัวเลขอตรรกยะ (irrational) คือ ตัวเลขที่หาขอบเขตสิ้นสุดไม่ได้ ดังตัวอย่างเช่นซึ่งไม่มีใครสามารถหาจุดสิ้นสุดของค่าของจำนวนอตรรกยะนี้ได้ในยุคนั้นจึงให้ความสนใจในเรื่องของจำนวน ตัวเลข และเรขาคณิต
            เรื่องราวที่เกี่ยวข้องกับปีทาโกรัสและสาวกเกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ที่มีความสัมพันธ์กับธรรมชาติหลายอย่างปีทาโกรัสได้กล่าวถึงลักษณะของด้านและมุมของรูปสามเหลี่ยม และรูปหลายเหลี่ยมต่าง ๆจนถือได้ว่าเป็นพื้นฐานแห่งทฤษฎีบทหลายบทจนถึงปัจจุบัน เช่นผลบวกของมุมภายในของสามเหลี่ยมใด ๆ มีค่าเท่ากับสองมุมฉากและยังสามารถขยายต่อไปอีกว่า ในรูปสามเหลี่ยมที่มีจำนวนด้านเท่ากับ n ผลบวกของมุมภายในรวมเท่ากับ 2n - 4 มุมฉาก
             โรงเรียนของปีทาโกรัสมีผู้ให้ความสนใจส่งบุตรหลานเข้ามาเรียนจำนวนมากทั้งพระมหากษัตริย์ ขุนนางราชสำนักและพ่อค้าคหบดีที่มั่งคั่งผู้ที่จบการศึกษาจากโรงเรียนแห่งนี้ได้มีการตั้งชุมนุม โดยใช้ชื่อว่า "ชุมนุมปีทาโกเรียน (Pythagorean)" ซึ่งผู้ที่จะสมัครเข้าชุมนุมปีทาโอกเรียนจะต้องมีความรู้ด้านคณิตศาสตร์เป็นอย่างดีอีกทั้งจะไม่เผยแพร่ความรู้ด้านคณิตศาสตร์ให้กับผู้ที่ไม่ได้เป็นสมาชิกของชุมนุมชุมนุมปีทาโกเรียนมีบทบาทอย่างมากในเรื่องของวิทยาศาสตร์ในยุคนั้นอีกทั้งเป็นชุมนุมแรกที่มีความเชื่อว่าโลกกลมและไม่ได้เป็นศูนย์กลางของจักรวาลอีกทั้งต้องโคจรอีกด้วย
           ปีทาโกรัสเป็นนักวิทยาศาสตร์คนแรกที่ตั้งทฤษฎีเกี่ยวกับโลกกลมและหมุนรอบตัวเองรวมถึงดวงอาทิตย์ ดวงจันทร์ และดาวเคราะห์ ก็หมุนรอบตัวเองเช่นกันซึ่งทฤษฎีนี้ในเวลาต่อมานักดาราศาสตร์อย่างโคเปอร์นิคัส และกาลิเลโอได้นำมาพิสูจน์แล้วพบว่าทฤษฎีนี้ถูกต้องไม่เพียงแต่งานด้านคณิตศาสตร์เท่านั้นที่ปิทาโกรัสให้ความสนใจเขายังมีความสนใจเกี่ยวกับเรื่องแสงด้วยการค้นคว้าของปีทาโกรัสทำให้เขารู้ความจริงว่า มนุษย์ไม่สามารถมองเห็นแสงสว่างได้เพราะแสงสว่างเป็นเพียงอนุภาคเล็ก ๆ เท่านั้นแต่แสงสว่างเป็นตัวการสำคัญที่ทำให้เรามองเห็นวัตถุ เนื่องจากแสงตกกระทบไปที่วัตถุทำให้วัตถุนั้นสะท้อนแสงมากระทบกับตาเราดังเช่นที่เราสามารถมองเห็นดวงจันทร์มีแสงก็เพราะแสงจากดวสงอาทิตย์ที่ส่องไปยังดวงจันทร์และสะท้อนกลับมายังโลกทั้งที่ดวงจันทร์ไม่มีแสงแต่เราก็สามารถมองเห็นดวงจันทร์ได้
          นอกจากเรื่องแสงแล้วปิทาโกรัสได้ค้นพบเกี่ยวกับเรื่องเสียงด้วยการค้นพบของเขาสรุปได้ว่าเสียงเกิดจากการสั่นสะเทือนของวัตถุการพบความจริงข้อนี้เนื่องจากวันหนึ่งเขาได้เดินผ่านร้านตีเหล็กแห่งหนึ่งปีทาโกรัสได้ยินเสียงที่เกิดจากช่างตีเหล็กใช้ค้อนตีแผ่นเหล็กแผ่นเหล็กนั้นสั่นสะเทือนซึ่งเป็นตัวการที่ทำให้เกิดเสียง การสังเกตของปีทาโกรัสต่อสิ่งแวดล้อมเกี่ยวข้องกับชีวิตประจำวันและเป็นรากฐานความคิดในยุดต่อไป

ปีทาโกรัสเสียชีวิตเมื่อประมาณ 507 ก่อนคริสต์ศักราช ที่เมืองเมตาปอนตัม (Metapontum)

ทฤษฎีปีทาโกรัส

      สรุป  ทฤษฎีบทเรขาคณิตที่ว่า "ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆกำลังสองของความยาว ของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลบวกของกำลังสองของความยาวของด้าน ประกอบ มุมฉาก"   

ที่มา

http://www.baanmaha.com/community/thread23435.html

https://www.google.co.th/#q=%E0%B8%9B%E0%B8%B5%E0%B8%97%E0%B8%B2%E0%B9%82%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%B1%E0%B8%AA+pythagoras   ( 14/09/56 )



จำนวนเต็ม

จำนวนเต็ม



สัญลักษณ์ที่มักใช้แทนเซตของจำนวนเต็ม

     เซตของจำนวนเต็มทั้งหมดมักแสดงด้วย Z ตัวหนา จากคำในภาษาเยอรมันว่า Zahlen[ˈtsaːlən] แปลว่าจำนวน

                   เมื่อเราพิจารณาบนเส้นจำนวน จะเห็นว่าจำนวนเต็มบวกหรือจำนวนนับ ได้แก่ 1 , 2 , 3 , 4 , ... จำนวนเต็มลบ ได้แก่ -1 , -2 , -3 , -4 , ... และศูนย์ ซึ่งไม่เป็นจำนวนเต็มบวกและจำนวนเต็มลบ    -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
ดังนั้น จำนวนเต็มประกอบด้วย จำนวนเต็มบวก จำนวนเต็มลบ และศูนย์ ดังแผนภูมินี้

จำนวนเต็มบวก
            จำนวนเต็มบวก หมายถึง จำนวนนับ ตั้งแต่ 1 และเพิ่มทีละหนึ่ง เป็นต้นไปไม่สิ้นสุด ได้แก่ 1 , 2 , 3 , 4 ,...
ดังนั้น 1 จึงเป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดและจำนวนเต็มบวกอื่นๆ
เนื่องจาก เมื่อกำหนดจำนวนเต็มบวกใดๆ เราสามารถหาจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากกว่า และอยู่ถัดไปด้วยการบวกด้วย 1 ดังนั้นจึงไม่สามารถหาจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากที่สุดได้
ศูนย์
           เราทราบแล้วว่า 1 เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุด ถ้าพิจารณาจำนวนจำนวนหนึ่งซึ่งมีค่าน้อยกว่า 1 และอยู่ห่างจาก 1 เป็นระยะทาง 1 หน่วย จะได้จำนวนเต็มจำนวนหนึ่ง ซึ่งเรียกว่า จำนวนเต็มศูนย์ หรือ เรียกย่อยๆว่า ศูนย์และเขียนแทนด้วย 0

ตัวอย่าง

มีจำนวนเต็ม 3 ชนิด คือ

1.จำนวนเต็มบวก คือ จำนวนที่อยู่ทางด้านขวาของ 0บนเส้นจำนวน เรียกว่าจำนวนนับ

2.จำนวนเต็ม 0 คือ จำนวนที่ไม่เป็นทั้งจำนวนเต็มบวกหรือเต็มลบ

3.จำนวนเต็มลบ คือ จำนวนที่อยู่ทางด้านซ้ายของเส้น

               

จำนวนเต็ม

สรุป    Z เป็น เซตเรียงลำดับที่ไม่มีขอบเขตบนหรือขอบเขตล่าง. การเรียงลำดับของ Z อยู่ในรูป   ... <−2 <−1 < 0 < 1 < 2 < ...  จำนวนเต็มหนึ่งๆ จะเป็นจำนวนบวก ถ้ามันมากกว่าศูนย์ และเป็นจำนวนลบ ถ้ามันน้อยกว่าศูนย์ สำหรับศูนย์ ไม่ได้จัดอยู่ในจำนวนบวกหรือจำนวนลบแต่อย่างใด

ที่มา

http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B9%87%E0%B8%A1

http://www.goonone.com/index.php/2010-05-18-13-09-04/357--2   ( 14/09/56 )

 

การหาพื้นที่รูปวงกลม

การหาพื้นที่รูปวงกลม

การหาพื้นที่รูปวงกลม

•  จุดศูนย์กลาง คือจุดคงที่อยู่ตรงกลางของรูปวงกลมซึ่งอยู่ห่างจากเส้นรอบวงเป็นระยะเท่ากัน
•  เส้นผ่านศูนย์กลาง เป็นส่วนของเส้นตรงที่ลากจากจุดหนึ่งบนเส้นรอบวงด้านหนึ่งผ่านจุดศูนย์ไปยังอีกจุดหนึ่งบนเส้นรอบวงอีกด้านหนึ่ง

• เส้นรอบวง  เป็นเส้นขอบของรูปวงกลมที่อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากัน 

•  รัศมี  เป็นระยะห่างระหว่างจุดศูนย์และเส้นรอบวงของรูปวงกลม

•  คอร์ด เป็นส่วนของเส้นตรงที่ลากจากเส้นรอบวงด้านไปยังเส้นรอบวงอีกด้านหนึ่ง คอร์ดที่ยาวที่สุด คือเส้นผ่านศูนย์กลาง

การหาความยาวรอบรูปวงกลม

ความยาวรอบรูปวงกลม

 การหาความยาวรอบรูป  ( เส้นรอบวง ) ของวงกลม                            
                   จากค่า p   ≈   22/7   ≈   3.14
                                    p    =   เส้นรอบรูปวงกลม/เส้นผ่านศูนย์กลาง
      เส้นรอบรูปวงกลม    =   p  ×  เส้นผ่านศูนย์กลาง
                                            =   p  ×  2  ×  รัศมี

             เมื่อรัศมีคือ  r
            เพราะฉะนั้น   เส้นรอบรูปของวงกลม  =   2pr

ตัวอย่าง  วงกลมวงหนึ่ง มีรัศมียาว 7 เซนติเมตร จะมีความยาวของเส้นรอบวงเท่าไร

            รัศมีคือ  r  =  7

           เส้นรอบรูปของวงกลม  =  2pr

           เส้นรอบรูปของวงกลม  =  2 x 22/7 x 7

           เส้นรอบรูปของวงกลม  =  44  เซนติเมตร

การหาพื้นที่รูปวงกลม

          สรุปการหาพื้นที่รูปวงกลม คือ รูปร่างทางเรขาคณิตรูปแบบหนึ่ง เป็นรูปปิด ไม่มีมุม สามารถวาดได้โดยกำหนดจุดศูนย์กลางขึ้นมา 1 จุด จากนั้นจึงลากเส้นให้มีระยะห่างจากจุดนี้เท่ากันโดยตลอด วนรอบจุดศูนย์กลางจนกลับมาถึงจุดเริ่มต้น โดยระยะห่างจากจุดศูนย์กลางนี้มีชื่อเรียกว่า รัศมี 

 ที่มา

https://sites.google.com/site/suwatchaisites/reuxng-tawprakxb/kar-hakhwam-yaw-rx/kar-ha-phunthi-rup-wngklm-1 (14/09/56)



การบวก การลบ เมทริกซ์

การบวก การลบ เมทริกซ์



การบวก การลบ เมทริกซ์

         สรุป  การนำเมทริกซ์ A มาบวกและมาลบกับเมทริกซ์ B มีเงื่อนไข 2 ประการ คือ
                    1.  เมทริกซ์A และ B ต้องมีมิติเท่ากัน
                    2.  สมาชิกของผลลัพธ์นั้น เกิดจากการนำสมาชิกในเมทริกซ์A และสมาชิกในเมทริกซ์B มาบวกและมาลบกัน แต่ต้องเป็นสมาชิกที่อยู่ในตำแหน่งเดียวกัยทั้งหมด 

ที่มา    http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/sakaew/niracha_p/mathm_5... (  14 /09/56  )



การหาพื้นที่รูปสามเหลี่ยม

การหาพื้นที่รูปสามเหลี่ยม



สูตรการหาพื้นที่รูปสามเหลี่ยม
  พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม                    =    ( 1/2 ) × ฐาน × สูง
  ความยาวรอบรูปของรูปสามเหลี่ยม  =   ผลบวกของด้านทุกด้าน

         รูปสามเหลี่ยม (อังกฤษ: triangle) เป็นหนึ่งในรูปร่างพื้นฐานในเรขาคณิต คือรูปหลายเหลี่ยมซึ่งมี 3 มุมหรือจุดยอด และมี 3 ด้านหรือขอบที่เป็นส่วนของเส้นตรง รูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด A,B, และ C เขียนแทนด้วย  ABC
ในเรขาคณิตแบบยุคลิด จุด 3 จุดใดๆ ที่ไม่อยู่ในเส้นตรงเดียวกัน จะสามารถสร้างรูปสามเหลี่ยมได้เพียงรูปเดียว และเป็นรูปที่อยู่บนระนาบเดียว (เช่นระนาบสองมิติ)

ประเภทของรูปสามเหลี่ยม

แบ่งตามความยาวของด้าน

รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า (equilateral) มีด้านทุกด้านยาวเท่ากัน รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเป็นรูปหลายเหลี่ยมมุมเท่า นั่นคือมุมภายในทุกมุมจะมีขนาดเท่ากัน คือ 60° และเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ

รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว (isosceles) มีด้านสองด้านยาวเท่ากัน (ตามความหมายเริ่มแรกโดยยุคลิด ถึงแม้ว่ารูปสามเหลี่ยมด้านเท่าจะสามารถจัดว่าเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วได้ด้วย เพราะมีด้านที่ยาวเท่ากันอย่างน้อยสองด้าน) และมีมุมสองมุมขนาดเท่ากัน คือมุมที่ไม่ได้ประกอบด้วยด้านที่เท่ากันทั้งสอง

รูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า (scalene) ด้านทุกด้านจะมีความยาวแตกต่างกัน มุมภายในก็มีขนาดแตกต่างกันด้วย

แบ่งตามมุมภายใน

รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก  (right, right-angled, rectangled) มีมุมภายในมุมหนึ่งมีขนาด 90° (มุมฉาก) ด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมฉากเรียกว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก ซึ่งเป็นด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยม อีกสองด้านเรียกว่า ด้านประกอบมุมฉาก ความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสัมพันธ์กันตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส นั่นคือกำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก c จะเท่ากับผลบวกของกำลังสองของด้านประกอบมุมฉาก a,b เขียนอย่างย่อเป็นดูเพิ่มเติมที่ รูปสามเหลี่ยมมุมฉากพิเศษ

          รูปสามเหลี่ยมมุมเฉียง (oblique) ไม่มีมุมใดเป็นมุมฉาก ซึ่งอาจหมายถึงรูปสามเหลี่ยมมุมป้านหรือรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม

รูปสามเหลี่ยมมุมป้าน (obtuse) มีมุมภายในมุมหนึ่งมีขนาดใหญ่กว่า 90° (มุมป้าน)

รูปสามเหลี่ยมมุมแหลม (acute) มุมภายในทุกมุมมีขนาดเล็กกว่า 90° (มุมแหลม) รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม แต่รูปสามเหลี่ยมมุมแหลมทุกรูปไม่ได้เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า

การหาพื้นที่รูปสามเหลี่ยม

สรุป      สูตรการหาพื้นที่รูปสามเหลี่ยม
               พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม   =    ( 1/2 ) × ฐาน × สูง
               ความยาวรอบรูปของรูปสามเหลี่ยม  =   ผลบวกของด้านทุกด้าน

               ชนิดของรูปสามเหลี่ยมแบ่งตามลักษณะของด้าน

                 - รูปสามเหลี่ยมที่มีด้านทั้งสามด้านยาวเท่ากัน  เรียกกว่า  "สามเหลี่ยมด้านเท่า"

                 - รูปสามเหลี่ยมที่มีด้านยาวเท่ากันสองด้าน  เรียกว่า  "สามเหลี่ยมหน้าจั่ว"

                 - รูปสามเหลี่ยมที่มีด้านทังสามยาวไม่เท่ากัน  เรียกว่า  "สามเหลี่ยมด้านไม่เท่า"

ที่มา

http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%A3%E0%B8%B9%E0%B8%9B%E0%B8%AA%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B8%A2%E0%B8%A1  (14/09/56)